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分散の計算 [数学]

センターの演習をやっていて,分散の計算は時間がかかっていやになります.
仮平均が使えないかと考えていました.

V(X) = E( (X-x')^2 ) - E(X-x')^2

x’ は仮平均

は正しいですか?
これってすごく計算が楽になりませんか?
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log x の積分 [数学]

生徒の質問が回ってきました.

\dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}

の極限を求めよという問題です.
これを計算する途中で,

\int_0^1\log xdx

という特異積分の値が問題になりました.
最初,当然のことながら -\infty だと何人も考えていたのですが,
単純に積分すると

-1-ε\log ε + ε \longrightarrow -1

だと思うのですが,正しいでしょうか?

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手品 誤り訂正理論 [数学]

これも,中島さんの講演会で述べられたものです.

(1) 1,3,5,7,9,11,13,15
(2) 2,3,6,7,10,11,14,15
(3) 4,5,6,7,12,13,14,15
(4) 8,9,10,11,12,13,14,15

1から15までの数を1つ思ってもらい,それが(1)から(4)のどれに入るか答えてもらいます.
そのとき,先頭の数字を足せば,思っていた数になるのです.

(5) 2,3,4,5,8,9,14,15
(6) 1,3,4,6,8,10,13,15
(7) 1,2,5,6,8,11,12,15

さらに(5)~(7)の合わせて(7)つを使えば,1つまで,入るかどうかで嘘をついてもその嘘の番号も
わかり,数もわかります.

(1) 青黄 (2) 赤黄 (3) 赤青 (4) 赤青黄 (5) 赤 (6) 青  (7) 黄

と色を付けたとき,正しい答えでは,3色が偶数個になります.
奇数個になったところが嘘の番号です.

ヒントは,2進数.さてわかるかな?

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中島さちこさんの講演会に行ってきました.(1) [数学]

数学オリンピックの金メダリスト,ジャズピアニスト中島さちこさんの,数学と音楽の講演を聴いてきました.

彼女が,数学研究に向かったきっかけが,大学への数学の宿題にのっていたピーターフランクル出題の次の問題

(1+4(3乗根2)-4(3乗根4))^n = a_n + b_n (3乗根2)+c_n(3乗根4)
が成り立つならば C_nは0 でないことを証明せよ.

を1ヶ月かかって解いたことだと言っていました.
そこから,多くの人や,仲間との繋がりが国境を越えて広がっていったとのことです.


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n,n+1が互いに素を使って素数が無限個あることを証明する [数学]

2以上の自然数nに対して,n,n+1が互いに素であることを使って,
素数が無限個ある証明を聞きました.ネットで探しても出ると思いますが,
数行で証明出来ます.
すごいですね!
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平面幾何の定理 [数学]

 ひさしぶりに昔の記事を眺めていて、数学小話をアップしてないなあ・・・と思いました。

 昨年の夏、新潟で行われた 日本数学教育学会 でも話をしたのですが

 年末、センター演習をしているとき結構役に立つ定理をいくつか見つけました。
 トレミーの定理レベルのまれにしか使わない物ですが・・・

(1)三角形ABCの頂角Aの二等分線がAの対辺BCと点Dで交わるとき、
   AD^2 = AB*AC - BD*DC
(2)上記三角形ABCの外接円と直線ADが点A以外の点Eと交わるとき、
   AB*AC = AD * AE
(3)AB=ACの二等辺三角形ABCで、辺BC上に内点Dをとる。
  直線ADが三角形ABCの外接円と点A以外の点Eと交わるとするとき、
   AB*AC(=AB^2)=AD*AE

 比を使えば簡単にわかります。
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解と根 [数学]

 あけまして、おめでとうございます。

 数学小話でまとめるのも面倒で・・・
 と思っているうちに、記憶も薄れてきて・・・

 年末の講演で、方程式の「解」と「根」は、高校の教科書の今の形が正しく今までの定義は間違っていた、
と講演者がおっしゃっていました。その後直接質問をしたのですが、次のようにおっしゃっていました。
(1)方程式は「解く」というでしょう
(2)方程式に「零点」という表現はしませんが、関数に対しては「零点」という表現をします
(3)岩波「数学辞典第4版」か「***」に歴史的なことが書いてある。
岩波の「数学事典第4版CD」をチェックしましたが、記述は見つけられませんでした。

 私は、たとえ解析的であっても留数定理のように (x-\alpha)^n をくくりだして、残りは
0にならないようにする、つまり代数的な因数分解を考えるときは「根」が正しく、
=0となるxの集合を考える場合は「解」と言うのだと思っていました。

 重解という概念は、「解」では認識できず「根」という概念が必要だと言ったのですが、
それに対しての反論あるいは説明をいただくことはできませんでした。

 どなたかこの件について何かご存じの方はいらっしゃいますか?
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三角形を解く-どう思います? [数学]

 平面図形(幾何でなく計量)の授業参観の後話をしていて話題になったことです。

 A=60°, a=3, b=√6 のとき、B を正弦定理で計算するのですが、それだけでは2つの角が
出てきます。角の大小と対辺の大小の対応を使えば片方をキャンセルできますが、60°の
残りであるという状況からも片方をキャンセルできます。

 で、指導書に角の残りを考えるだけでは正解を得られない例があると言う話がでました。
正弦定理や余弦定理は、作図をすることに対応するからそんなことはないはずだというと、
ではということで次の例を持ってきました。

 A=30°, a=√2 , b=1+√3 , c=2 のとき C の値を求めよ。

 正弦定理から出てくるのは、 C=45° , 135° で、C < 180° - 30° では2つとも生き残ります。

 だから、(1)正弦定理を使うのはダメ、余弦定理を使うべき (2)角の大小と辺の大小の関係が大事
と結論づけて良いのでしょうか?

 しばらく考えて、次のように思ったのですが、いかがでしょう。

 この問題は、過剰決定系、すなわち条件が多すぎる。
 もし正弦定理で求めるなら、AC の長さは不要。
 確かにCは2つの可能性があり、そのとき出てくるACの長さによってCの値が変わる。

 もし、確定情報が欲しければ、もちろん三角形の合同条件をみたすように選ばなければ
いけないので、余弦定理で出すしかない。

 そもそも条件が多すぎる問題は、それらの条件をすべてみたすかどうか調べるのが当然
であり、辺の大小と角の大小の対応関係を用いて1つの場合をキャンセルしても、
残ったものが正しいものかを確認しなければならない。

 そのような過剰決定系の問題は高校現場には少ないが、微積の極大値や極小値を与えて
関数の係数を求める問題で、係数を極値であることの必要条件から求めただけで終わらず、
さらに増減表を書かせて極大、極小を確認させる所まで書いて正解とする事と比べてみると
分かり易い。
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AX=XAならXはEとAのベキ和で書けるか [数学]

3次元と一般次元で、計算しました。
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AX=XAならXはE、A、A^2,・・・の一次結合でかけるか [数学]

やっぱり無理ですね。

簡単な反例を3次の正方行列であげておきます。

A=(1,2)成分のみ1で残りは0の行列
X=(1,3)成分のみ1で残りは0の行列

とすると、AX=XA ですが、A^2=O なので、XをEとAのべきの一次結合として表すことはできません。

この例は最小多項式が2次です。

ということで、問題の設定を「最小多項式がn次のとき成り立つでしょうか」とします。
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