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log x の積分 [数学]

生徒の質問が回ってきました.

\dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}

の極限を求めよという問題です.
これを計算する途中で,

\int_0^1\log xdx

という特異積分の値が問題になりました.
最初,当然のことながら -\infty だと何人も考えていたのですが,
単純に積分すると

-1-ε\log ε + ε \longrightarrow -1

だと思うのですが,正しいでしょうか?ネット上に,区分求積の形からすぐ
\int_0^1\log xdx
として,計算もせずに -1 だから 1/e という解答がありました.

後日談です.

この問題を紹介した生徒がわからないと言ってきたので,説明をする中で,
積分に当たる部分の図を書かせたところ,図形が開いていることに気づいて
「あれっ」と止まってしまいました.

良い感じですね.

生徒には,積分を使った不等式を使って,有限部分の積分で押さえて,
挟み撃ちを使った解答を渡しました.
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suspender

区分求積を使うと,$\int_0^1\log xdx$としてしまうのは,区分求積が成り立つ条件をあげていない(あげられない)ことからですか?
出来る生徒を路頭に迷わせないためには,どうしたもんじゃろのー
by suspender (2016-10-14 23:41) 

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