金沢君の独り言

　ひさしぶりに昔の記事を眺めていて、数学小話をアップしてないなあ・・・と思いました。

　昨年の夏、新潟で行われた　日本数学教育学会　でも話をしたのですが

　年末、センター演習をしているとき結構役に立つ定理をいくつか見つけました。
　トレミーの定理レベルのまれにしか使わない物ですが・・・

（１）三角形ABCの頂角Aの二等分線がAの対辺BCと点Dで交わるとき、
　　　AD^2 = AB*AC - BD*DC
（２）上記三角形ABCの外接円と直線ADが点A以外の点Eと交わるとき、
　　　AB*AC = AD * AE
（３）AB=ACの二等辺三角形ABCで、辺BC上に内点Dをとる。
　　直線ADが三角形ABCの外接円と点A以外の点Eと交わるとするとき、
　　　AB*AC(=AB^2)=AD*AE

　比を使えば簡単にわかります。

　あけまして、おめでとうございます。

　数学小話でまとめるのも面倒で・・・
　と思っているうちに、記憶も薄れてきて・・・

　年末の講演で、方程式の「解」と「根」は、高校の教科書の今の形が正しく今までの定義は間違っていた、
と講演者がおっしゃっていました。その後直接質問をしたのですが、次のようにおっしゃっていました。
（１）方程式は「解く」というでしょう
（２）方程式に「零点」という表現はしませんが、関数に対しては「零点」という表現をします
（３）岩波「数学辞典第4版」か「***」に歴史的なことが書いてある。
岩波の「数学事典第4版CD」をチェックしましたが、記述は見つけられませんでした。

　私は、たとえ解析的であっても留数定理のように　(x-\alpha)^n　をくくりだして、残りは
0にならないようにする、つまり代数的な因数分解を考えるときは「根」が正しく、
=0となるxの集合を考える場合は「解」と言うのだと思っていました。

　重解という概念は、「解」では認識できず「根」という概念が必要だと言ったのですが、
それに対しての反論あるいは説明をいただくことはできませんでした。

　どなたかこの件について何かご存じの方はいらっしゃいますか？

　平面図形（幾何でなく計量）の授業参観の後話をしていて話題になったことです。

　A=60°, a=3, b=√6　のとき、B を正弦定理で計算するのですが、それだけでは2つの角が
出てきます。角の大小と対辺の大小の対応を使えば片方をキャンセルできますが、60°の
残りであるという状況からも片方をキャンセルできます。

　で、指導書に角の残りを考えるだけでは正解を得られない例があると言う話がでました。
正弦定理や余弦定理は、作図をすることに対応するからそんなことはないはずだというと、
ではということで次の例を持ってきました。

　A=30°, a=√2 , b=1+√3 , c=2 のとき C の値を求めよ。

　正弦定理から出てくるのは、 C=45° , 135° で、C < 180° － 30° では2つとも生き残ります。

　だから、(1)正弦定理を使うのはダメ、余弦定理を使うべき (2)角の大小と辺の大小の関係が大事
と結論づけて良いのでしょうか？

　しばらく考えて、次のように思ったのですが、いかがでしょう。

　この問題は、過剰決定系、すなわち条件が多すぎる。
　もし正弦定理で求めるなら、AC の長さは不要。
　確かにCは２つの可能性があり、そのとき出てくるACの長さによってCの値が変わる。

　もし、確定情報が欲しければ、もちろん三角形の合同条件をみたすように選ばなければ
いけないので、余弦定理で出すしかない。

　そもそも条件が多すぎる問題は、それらの条件をすべてみたすかどうか調べるのが当然
であり、辺の大小と角の大小の対応関係を用いて1つの場合をキャンセルしても、
残ったものが正しいものかを確認しなければならない。

　そのような過剰決定系の問題は高校現場には少ないが、微積の極大値や極小値を与えて
関数の係数を求める問題で、係数を極値であることの必要条件から求めただけで終わらず、
さらに増減表を書かせて極大、極小を確認させる所まで書いて正解とする事と比べてみると
分かり易い。

長岡への燃費が28Km/Lだと言ったら、2代目プリウスのオーナーが、30Km/L出るよ。
あんた運転下手だなあ、と言われて、だいぶ元気がなくなってしまいました。

高速中心で長岡を往復したら25Km/Lしかでなかったので、そうなのかなとやる気が失せていました。
初めての満タン給油で1000Km出ないと表示が出たので、８６２Kmで2回目の給油をしたことも、
また近距離の通勤で20Km/Lしか出ないことも追い打ちでした。

でもHPを色々見てもそんなこと無いですよね。

で、今日の長岡往復です。行きは栃尾経由だったので、すごい山道でした。
帰りは1区間だけ高速を使いました。
で、現在までの最高値29.2Km/Lがでました。
丁寧に走ると、エンジンで位置エネルギーを稼ぎ、その際たまる電力と下りの滑空走行を
使うことで山を下りたときはだいたい上る前と同じ燃費が出ていた、と感じました。

一時Ecoモードを外していたのですが、やっぱりEcoモードで走ることにしました。
大きく踏み込むとEcoモードでも体がシートに押しつけられるほどの加速を感じます。

エンジンや回生ブレーキでたまった電力を上手に使って運転することと、
ある程度加速したら、いったんブレーキをゆるめてから再度踏み込みギヤを上げること
がポイントなんでしょうか。

HPによくある滑空は長い下りでもなければなかなかできません。
特に高速など、本当に達人たちはやっているのかな？

また気を取り直して30Km/Lに挑戦です。

ところで、以前乗っていたガイアでは、よく腰が痛くなったのですが、
プリウスでは今のところ腰痛が出ていません。

今日は長岡まで一般道を走りました。
106Kmを3時間かけて走り、燃費は２８Km/Lでした。
今日は全線Ecoモードでした。
このままだと一回の給油で１０００Kmいくはずですが・・・
火曜から学校は始まって、通勤距離が短いので厳しいです。

後何Km走るか表示されます。
常に、瞬間燃費が表示されています。
速度計はデジタルです。
これらが走りを変えますね。

スタート時の速度変化を見ていると、４０Km/ｈ位ではアクセルをゆるめないのですね。
プリウスに乗っているとこの辺がとても気になります。

ロードノイズがあるので、決して全く静かというわけではないのですが、
それでも静かという形容ができるほどです。
おとなしく走ることもあり、助手席ではぐっすり度が高いです。

３次元と一般次元で、計算しました。

発売日前に予約して、一昨日ようやく納車になりました。

普通に運転すれば２０Km/l は超えるだろうという話があります。

たぶん２代目にはエネルギーモニタがついていて、
これを見ながらエコ運転をしているのだと思います。
というのは、プリウスのHPを見るとそのように書いてあるからです。

３代目プリウスでもエネルギーモニタはありますが、
ハイブリッドシステムインジケータというのがついていて、
それにあわせてアクセルをON/OFFするだけで
エコ運転ができるようになっています。
５００Km位走ってみました。
平地、山道や、高速も走ってみましたが、現在２５Km/l 位の燃費が出ています。

燃費を気にすると、どうしても加速するのに抵抗があり、
遅い車を追い上げるということもなくなりました。
ただ、とろとろ加速したエゴ運転にはならないようには気をつけています。

50Km/h位の運転ではEcoモード、
80Km/h位での運転では通常モード
90Km/h以上や、1車線での運転ではPowerモードがよいように感じました。

いわゆる車の楽しみは、「走らせること＝スピードを出すこと」のように思われていますが、
いかに燃費を稼いで運転するかというのは、頭と感性、注意力をかなり使います。
こういう運転もあるんだなあという感じです。
はまりますよ。

ほかに、ライトにautoがあってびっくりしました。最近の車にはついているんだそうですね。
使ってみるととても便利です。

やっぱり無理ですね。

簡単な反例を3次の正方行列であげておきます。

A=(1,2)成分のみ１で残りは０の行列
Ｘ＝(1,3)成分のみ1で残りは0の行列

とすると、AX=XA ですが、A^2=O なので、ＸをＥとＡのべきの一次結合として表すことはできません。

この例は最小多項式が2次です。

ということで、問題の設定を「最小多項式がｎ次のとき成り立つでしょうか」とします。

数学小話No77「複素数の四則演算と幾何２」に
「石塚の定理」があります。
平面上の座標がともに有理数となる点を有理点ということにします。
3有理点を頂点とする三角形の内角の正接は有理数だという内容です。

今日は飲み会で、色々情報交換をしてきました。
上の話の中では複素数を使って証明しましたが、阿部先生は、ｔａｎの加法定理から
明らかといっています。

さて、阿部先生は、「3有理点を頂点に持つ三角形の内角を求めよ」という問題の
解答は、45°の倍数しか出てこないことを不思議に思っていました。

で、「石塚の定理」を使えば当然だということで、提出した定理が阿倍の定理です。

「有理点を頂点とする3角形の内角が有名角なら、それは45°、90°、135°しかない」

久しぶりに「のだめ#22」が発売になりました。
単行本がなくて、初回限定のDVD付きしかなかったのですが、思わず買ってしまいました。

さて、数学オリンピック予選に出ていた生徒が卒業し続く生徒がいないので寂しい思いをしていましたが
ようやく1人見つかったので、一緒にやっています。

もっとやろうといってこないのが残念です・・・

その生徒と昨年の問題をやっていたとき、生徒の変形から良さそうな解答に気づきました。
その解答です。数学小話に置きました。

私も同じようなことをやっていましたが、高校生には説明が難しいことを使っていました。
今回の解答は、まさに高校の範囲ですし、考察も必要で、短いものです。

とても気に入っています。